Casos de factorización 3

Excelente día para todos anexo los últimos tres casos de factorización para culminar con todos los casos, espero les sea de ayuda.

Octavo caso: Cubo perfecto de binomios

—  Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:

—  Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

—  Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.

—  El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)2(b)].

—  El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a) (b)].

—  El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1).

—  Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b).

—  Ejemplo explicativo:

—  Ejemplos:

Noveno caso: Suma o diferencia de cubos perfectos

—  Recordamos de cocientes notables que:

—  Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

—  De donde se deducen las siguientes reglas:

—  La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

—  La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. 

—  Ejemplo explicativo:

—  Ejemplos:

Décimo caso: Suma o diferencia de dos potencias iguales

—  De los  cocientes notables recordamos que:

—  Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:

—  Y esto es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.

—  Así también:

—  Al despejarlo nos queda:

—  Que es válido para cualquier suma de dos potencias iguales impares únicamente (con pares no funciona).

—  Si tomamos también:

—  Al despejarlo nos queda:

—  Que es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales pares únicamente (con impares no funciona).

—  Pasos:

—  Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

—  Se sacan las raíces de cada término.

—  Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer término es la raíz del primer término dado y el segundo término es la raíz del segundo término dado.

—  El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

—  Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

—  En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

—  En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

—  Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

—  Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

—  Cuando en el polinomio, el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

—  Ejemplos explicativos: